구조해석에 있어서 매트릭스법과 유한요소법의 차이점

1.

매트릭스 구조해석은, 2차원 frame 구조를 해석하면서 보다 간편하게 과정을 가져가고자 고안된 기법입니다. 2차원 frame의 경우, 각 요소가 보요소(beam)로 간주됩니다. 이렇게 되면 각 요소의 끝 다른 요소와 만나는 점(이것을 절점, joint라고 합니다)에서의 반력이 모멘트와 전단력이 되고, 변형은 수직변위와 연직변위 그리고 회전각이 됩니다. 이 반력과 변형간의 관계가 각 요소마다 구해질 수 있고, 이것이 전체적인 시스템에서 합해지는데, 이 합해져서 전체적인 시스템에서의 역학적 반응치를 구하는 과정에 매트릭스 연산을 도입해서 보다 능률적으로 가져간 기법입니다.

2.

유한요소법은, 이것보다는 조금 복잡한 시스템에 적용되어서, 예를들자면 구조체를 간단한 프레임으로 볼것이 아니라, 복잡한 형태의 solid 구조체라고 할때 이 구조체의 역학적 반응을 구한다고 하면, 이론적인 접근법으로 정확한 해법을 구할 수 없습니다.

그 이유는, 현재의 물리학이나 고체역학(solid mechanics)이 아직 그 수준까지 발달하지 않았기 때문입니다.  

그런데, 이 복잡한 구조체를 삼각형이면 삼각형, 사각형이면 사각형등 간단한 기하학적 모양을 가지는 수많은 작은 단위구조로 나눌 수 있습니다. 이 단위구조를 유한요소(finite element)라고 하는데, 이 단위구조의 기하학적 모양이 단순하므로, 전체 구조에 대해서 이 단위구조에 작용하는 역학적 반응치들(각 절점당 3개의 변위치와 3개의 변위각, 그리고 3개의 반력과 3개의 모멘트)을 의외로 쉽게 구할 수 있습니다. 이렇게 각각의 단위구조에 대해서 구한 역학적 반응치들을 전체 시스템에서 합하여 복잡한 형태의 전체구조의 전체적 역학적 반응치를 구하는 기법을 유한요소법이라고 합니다.

그런데, 각 요소의 역학적 반응치가 워낙 frame에 비해 많으므로, 이들 식들을 나열해 놓으면, {반력}=[k]{변위치}를 이루는 방정식이 다차원 연립방정식이 됩니다. 그래서 수계산으로는 도저히 풀 수 없고, 이 다차원 연립방정식을 하나의 큰 매트릭스로 만들어 역행렬을 구해서 풀어야 하는데, 이것이 근래 컴퓨터가 고성능화 되면서, 상당히 복잡하고 큰 구조시스템에 대해서 비교적 쉽게 적용, 해법을 도출하기에 이른 것입니다.

3.

매트릭스 구조해석이나 유한요소법이나, 그 풀이과정에서 다차원 연립방정식이 도출되어, 이 해를 매트릭스 연산으로 풀어내는 것은 같습니다만, 전자가 2차원 frame을 대상으로 하는 방법이므로, 수계산 수준으로 가능한 반면, 후자는 주로 2, 3차원 solid 구조를 대상으로 하므로, 미지수가 많고, 연립방정식 숫자가 워낙 많으므로 컴퓨터를 이용해서만 가능하다는 차이점이 있습니다.

결국 매트릭스 구조해석의 내용이 유한요소법 내용속에 거의 포함되는 관계로, 따로 매트릭스 구조해석을 미리 공부한 다음, 유한요소법으로 들어가는 것이 중복적이므로 그럴 필요가 없고 시간낭비라는 것입니다. 그냥 처음부터 유한요소법으로 들어가도 별 문제 없습니다.